S panem Bílou nacházím shodné body, s panem Kyslingerem nikoli

21. 4. 2010

Pan Bíla zcela správně připodobňuje matematiku k umění. To je základ, z něhož je možno vyjít. (Osobně jsem strašně rád, že to uvedl někdo ze zastánců matematické maturity, protože pokud s něčím podobným vyrukuje nějaký její odpůrce, tak je okamžitě jejími zastánci okřikován.) Tuto myšlenku je ovšem nutno dovést do důsledků, což už pan Bíla nečiní:

Pro umění platí zcela jednoznačně, že tvořit skutečná umělecká díla mohou pouze mimořádně nadaní jedinci, kteří navíc ještě perfektně zvládnou řemeslnou stránku věci. Tu může naopak zvládnout téměř každý (ale výsledkem jeho činnosti bude umělecky hodnotné dílo leda náhodou). Řemeslo lze nadrilovat.

Nechme pro zjednodušení stranou výjimky na způsob vozíčkáře v tělocviku, nevidomého ve výtvarné výchově nebo neslyšícího ve výchově hudební; v matematice existují jejich analogie také, pouze jsou méně nápadné a obtížněji prokazatelné. Pokud bychom udělali maturitním předmětem třeba tělocvik, tak by asi bylo dost nápadné, že se ji nepodařilo složit žádnému vozíčkáři (patrně by ji nezvládla ani část úspěšných účastníků paraolympiády). Nepatřičnost pokřikování o "líných lemplech" by asi byla podstatně nápadnější než v případech, kdy je takto označen nějaký dyskalkulik nebo osoba "obdařená" jiným typem výrazného matematického "nenadání".

Nicméně vraťme se k tomu vztahu umění versus řemeslo:

Tady je totiž podle mne zakopána hlavní příčina neshody mezi mnou a pány Bílou a (zejména) Kyslingerem:

Potřeby matematické výchovy / výuky někoho, kdo je schopen matematiku provozovat tvůrčím uměleckým způsobem, jaký popisuje (naprosto pravdivě, a já s ním zcela bezvýhradně souhlasím) pan Bíla, jsou naprosto odlišné od potřeb někoho, kdo tohoto schopen není. Co pro toho prvního bude "elegantní krásou vzorců a jejich vztahů", to pro toho druhého bude, omlouvám se za ten expresívní výraz, jenom bezúčelná mentální masturbace.

Zatímco ten první bude prožívat orgasmu blízké pocity při převodu abstraktního vzorce

e^x=10^y

do smysluplné a v praxi použitelné podoby

log(z,x)=ln(x)/ln(z),

ten druhý bude leda sprostě nadávat, že se k tomu smysluplnému vzorci musí nabiflovat jakýsi k ničemu jsoucí "abstraktní vztah" a větší počet řádků mezi nimi a jeho vztah k matematice tím bude "prohlouben" leda do negativních hodnot.

Pochopitelně, že v praxi bude situaci komplikovat jakási "šedá zóna" nadaných, "ale nedostačujícím způsobem".

Problém dále akcentuje nejednoznačnost matematických vzorců.

Ono: ln p^q = q ln p z příspěvku pana Bíly

je (ln p)^q = q ln p nebo ln(p^q) = q ln p ? - to se z toho vzorce opravdu nijak odvodit nedá a pátrat po nějakých prioritních pravidlech, která jsou navíc v každé učebnici trochu jinak a v řadě z nich je ani do takovýchto podrobností dotaženy nemají, to znamená ztrátu spousty času, který by člověk ušetřil, pokud by matematikové dokázali své myšlenky vyjadřovat jednoznačně (tento stav je něco, co bych si dovolil označit jako "špatně provedené řemeslo"). Pro srovnání: řada programů u takovýchto vztahů při nepoužití závorek zhavaruje při překladu nebo preprocesingu, a přestože příslušné programovací jazyky mají priority operátorů a funkcí jednoznačně a důsledně stanoveny, tak tam překladače a interprety často ty závorky explicitně vyžadují.

Další věcí je, že systémy pro zobrazování matematických vzorců jsou prakticky jenom nekvalitní a velmi nekvalitní a jejich výsledky jsou často vzájemně silně se nepodobající (výjimkou je TeX, který je ale zároveň perfektním důkazem, že identický vztah lze vyjádřit i bez "muřích noh" a znaků superponovaných nad superponovanými).

Obávám se toho, že současná středoškolská matematika se nesmyslně a bezcílně potácí, asi stejným způsobem, jako by se potácela výtvarná výchova, kdyby její učitelé neměli jasno, zda požadovaným výkonem od studenta je "Mona Lisa" nebo "technicky zvládnutý obrázek bez zvláštních uměleckých ambicí". Učitelé výtvarné výchovy v tomto jasno mají, vrcholy umění od studentů nečekají, jen zvládnuté základy výtvarných technik. Proto se zde problémy zpravidla nevyskytují. Stejně tak jsou relativně nejúspěšnější kurzy fotografování či psaní, zaměřené na řemeslný základ, které se netají tím, že jejich cílem je to, aby frekventant zvládl řemeslně kvalitní fotografii nebo řemeslně kvalitně sepsaný text - a to umění buď v něm je, a pak mu řemeslný dril jednoznačně pomůže, nebo není, a pak se může živit třeba reportážní fotografií nebo různými komerčními texty bez větších uměleckých ambicí. A úspěšní absolventi podobných kurzů toho zpravidla dokáží víc než umělecky nadaní ale řemeslně nevycepovaní jedinci.

Dle mého soudu tedy potřebujeme definovat jakési "matematické řemeslo", zvládnutelné prakticky všemi vyjma opravdu silně nenadaných (je otázka, co s nimi). Bude-li vyučováno korektním způsobem a cílem této výuky bude opravdu "zvládnutí řemesla" bez jakýchkoli "uměleckých" ambicí, a to i v případě hodnocení, bude možné z toho udělat průměrně oblíbený předmět, jehož zařazení mezi maturitní předměty se nebude téměř nikdo vzpěčovat. Pro ty opravdu nadané by pak měla být nějaká nepovinná výuka, kroužky apod., které by byly zcela jinak strukturované, a jejichž cílem by měl být "matematický umělec" směřující někam na matfyz.

Očešme ji nemilosrdné o "to krásné" (pro zanedbatelnou skupinu vyvolených), co při tom řemeslném zvládnutí jen překáží:

Já chci o ploše kruhu vědět vzorec pi*r2. To, že se dá odvodit z goniometrických funkcí přes integrály jsem ochoten si zapamatovat. Desítky řádků "čínského písma" tohoto odvozování jsou pro mě zcela bezcenné. Jejich zapamatování je onou bezcennou zátěží dělající z matematiky "paměťový předmět", nehledě k tomu, že jde o naprosto bezcennou informaci, kterou nikdy v praxi nebudu potřebovat. Nehodlám si hrát na vypravěčova strýčka ze Saturnina, který toužil na vše přijít sám; v tomto případě sám odvodit vzorce, které bych měl mít možnost v korektně sepsané učebnici matematiky rychle najít (tento triviální vzorec se zcela jistě najít dá, mnoho jiných ale podstatně hůř). Nehledě k tomu, že na to, abych toto odvození provedl, mi matematika není schopna poskytnout potřebné informace (včetně blábolivých definic a nejednoznačných vzorců). Případně už toto odvození patří do ranku "umělecké stránky" matematiky, a pak bychom se měli smířit s tím, že většina studentů toto odvození neprovede a bude se to učit "paměťově" (což se právě v praxi děje, opakovaně na to upozorňuji). Pokud výuka bude vedena tak (což často je) že zapamatování tohoto odvození (tedy desítky řádků "čínského písma") bude učeno na úkor zapamatování smysluplného vzorce na výpočet plochy kruhu, pak tato výuka nejen ztrácí jakýkoli smysl, ale má dopad spíše negativní. To byla i podstata "kauzy množiny", protože mozek dětí mladšího školního věku není dostatečně vyvinut, aby zpracoval natolik abstraktní (a tudíž bezobsažné) pojmy a výsledkem byly jen další haldy stránek "čínského písma", které bylo nutno se nadrilovat nazpaměť, aniž by byl výsledkem sebemenší přínos (generace před tím se drilovaly násobilku, která, pochopitelně, smysl měla a byla přínosem i mimo matematiku).

Jistěže se tím ztratí "krása matematiky", ale ta má pro 80 - 90 procent populace středoškoláků asi stejný význam, jako nadšený projev o kráse duhy na škole pro nevidomé. Obávám se, že právě "snaha popisovat duhu nevidomým" (a zejména jim vnutit učení se nazpaměť dlouhých a nesmyslných tirád na její oslavu - aby se alespoň předstíralo ponětí o kráse té duhy) je jedním faktorů, který vede k současnému konfliktu kolem středoškolské matematiky (a stojí i za zmíněnou havárií s množinami).

S panem Bílou jsme tedy alespoň v něčem ve shodě, což považuji za velice dobré a potenciálně přínosné.

K panu Kyslingerovi

Nechme stranou Forresta Gumpa. V praxi ovšem bude ten Forrest Gump s perfektní znalostí vzorce plocha = pi*r2 a s nadrilovaným dosazováním do něj podstatně použitelnější než někdo, kdo vyleze ze školy s chaotickými troskami odvození tohoto vzorce "přes integrály". Výsledkem je potom lékař neschopný vyřešit příklad typu "Studna má průměr metr, je v ní 1,5 m vody. Kolik do ní dát chloraminu, aby v ní byl v 0,05 procentní koncentraci?", což by ten drilovaný Forrest Gump patrně zvládl i bez běhání. A, řekněme si to upřímně, na nic jiného než na řešení podobných případů z praxe ta matematika není (pro tu většinu, co ji nejde studovat). Dle mého soudu má být nástrojem ke zvládnutí určitých problémů, otevřeným dalšímu rozšiřování na VŠ, ale ničím víc. A pokud má ambice být "něco víc", tak až po perfektním zvládnutí tohoto základu, ne na jeho úkor.

Pana Knitla jsem si dovolil citovat, protože v úvodu jasně říká:

"S matematikou a geometrií jsem se ve zlém potýkal již od prvního stupně základní školy," ... "Od druhého stupně jsem zaujal zcela vědomou strategii <>. Čtyřka této strategii plně vyhovovala." ...

"To, že je matematika krásná, že má podstatný vliv na způsob myšlení, že je základem myšlení obecně, jsem se dozvěděl až o deset let později na Fakultě humanitních studií UK."

Tedy se s autorem těchto slov v zásadě shodnu na tom, že (středo)školská matematika ani mě ani jemu prakticky nic nedala, oba jsme se k matematice dostali až na VŠ (nebo po jejím absolutoriu) a chápeme její (středo)školskou výuku jako ztracený čas, tak jsem alespoň pochopil jeho příspěvek, je možné, že ho pan Kyslinger pochopil jinak. (Nebo manipuluje on?)

Navíc jím citovaný odstavec z textu pana Knitla, pokud není vytržený z kontextu, se vztahuje dle mého soudu až k autorově reflexi středoškolské matematiky z pozice vysoké školy.

To, že logaritmická funkce převádí násobení na sčítání (a umocňování na násobení), mi pan Kyslinger nemusí vysvětlovat, já ještě zažil výuku s archaickými logaritmickými pravítky a logaritmickými tabulkami.

Pro mě je opravdu podstatné to, že pan Kyslinger uvedl vzorec: e^x = 10^y, jakožto základ, z něhož lze samozřejmě postup výpočtu dekadických logaritmů z přirozených odvodit (byť se k tomu následně nehlásí).

Oceňuji, že připomíná rozpor mezi matematikou a fyzikou: "...žáci ve fyzice potřebují matematický aparát, který v matematice dostanou v krajním případě až za rok!..." Já osobně to považuji za veliký pokrok (že je to teď už jen jeden rok), protože za nás se příslušný matematický aparát k mechanice (první ročník fyziky) učil v matematice až v ročníku třetím a čtvrtém.

Pochopitelně, dělám si z toho legraci, protože je to nádherná ukázka pedagogické (přinejmenším) neschopnosti matematiků a fyziků (často v "personální unii") tu látku vzájemně synchronizovat. A je, pochopitelně, obrovský rozdíl, jestli se ta fyzika učí stylem "tady máte nějaké vzorečky, bohužel, na jejich odvození neznáte matematický aparát, budete ho probírat až v příštích ročnících, ale dosazuje se do nich to a to tak a tak", jak to měla na gymnáziu moje manželka, a nebo stylem "tady těchto deset tabulí (odvozování fyzikálních vzorců prostřednictvým dosud neprobíraných integrálů a derivací) pečlivě opsaných do sešitů se do příští hodiny naučíte nazpaměť, bude na to písemka", jak jsem to zažil já. A pak se nelze divit, že když jsme později ty integrály a derivace probírali, tak se mi chtělo zvracet, jen jsem ty vzorce viděl - a dělá se mi při pohledu na ně fyzicky zle dodnes. Přesně takovýto přístup matematiků reflektuje i výše zmíněná "kauza množiny".

Jestli jsou středoškolské učebnice matematiky z dob mých gymnaziálních studií dobré nebo špatné, si netroufám posoudit. Za celé čtyři roky jsme s učebnicemi, na rozdíl od jiných předmětů, nepracovali, vyjma zadávání domácích úloh ("vypočítáte příklady č. to až tamto ze strany té až tamté"). Nehledě k tomu, že tyto učebnice jsme měli půjčené vždy jen na jeden rok, takže člověk i kdyby chtěl, tak by do učebnice z nižšího ročníku nahlédnout nemohl (dtto příprava před maturitou). I to je jedna z nectností matematiky, že je vyučována naprosto idiotským způsobem, s představou, že si studenti pamatují nějaké podružné informace z doby před mnoha lety, a tyto informace jsou studentům zpětně nedostupné (to se asi tč. zlepšilo érou internetu, Wikipedie atd., ale na využití takovýchto mimoškolních zdrojů by asi výuka stát neměla - nehledě k tomu, že to zpochybňuje její význam). Je zajímavé, že v jiných předmětech, kde se také odkazuje a navazuje na látku probíranou před více léty, nebo dokonce na nižším stupni školy, se podobné problémy nevyskytují, jejich učebnice (i vyučující) jsou tedy po stránce pedagogického řemesla na podstatně vyšší úrovni; je mi líto to uvádět takto tvrdě, ale je to tak.

Jinak ještě k dalším tvrzením pana Kyslingera: Vyhazování řady učebnic z gymnázia v roce 1969 a 1970 jsem viděl a zažil. I vyhazování knih ze školní knihovny.

Jestli si troufl na to, co popisuje: "leckdy se mi stávalo, že jsem suploval za nepřítomnou kolegyni občanskou nauku a tak trochu z vyššího principu mravního, ale spíše z frajeřiny jsem připomněl např. T.G.Masaryka nebo Dr. Beneše, že Norh Atlantic Treaty Organisation je obranný spolek apod.", tak to byla, s odpuštěním, blbá frajeřina, která mohla přivést do maléru nejen jeho ale i řadu dalších lidí. Ještě koncem 70. let můj spolužák vyletěl na samém konci studia medicíny, mezi státnicemi, na udání souseda, že na chatě hrál písničky od Kryla, a jiný měl pár let před tím těžké problémy s udáním, že nestál v pozoru při sovětské hymně, písni práce či jiné podobné režimní odrhovačce - ne v nějakém průvodu, ale o pár ulic vedle, kam to zaléhalo. Zachránilo ho v podstatě jen to, že dělal pomvěda u člena výboru KSČ, který se za něho postavil a udržel ho na škole (doba to byla složitá, i takové věci se stávaly). Pan Kyslinger mohl přivést do maléru nejen sebe (to by bylo to nejmenší), ale i tu kolegyni, za kterou suploval, ředitele školy, a možná by dostali do kádrových materiálů černý puntík i studenti za to, že ho neběželi udat. Jeho nadřízený musel být, chudák, zrovna na roztrhání (jednou nohou v kriminále, druhou v blázinci - pokud o tom věděl).

Nemyslím si, že je správné nebo dokonce žádoucí diskutovat o problémech s matematikou za zavřenými dveřmi, protože jejich řešení se týká všech občanů; o něco více těch, kteří mají dítka školou povinná, o něco méně těch, kteří to školství pouze ze svých daní financují.

Takže mimo tu nesynchronnost matematiky a fyziky (kterou já hodnotím podstatně negativněji, už proto, že je to desítky let známý a neřešený problém) se s panem Kyslingerem neshodujeme, takový je život.

Vytisknout